Funkcje trygonometryczne - sin, cos, tan, cot
Funkcje trygonometryczne opisują relacje między kątami a długościami boków w trójkącie prostokątnym. Dla kąta α w trójkącie prostokątnym:
- sin(α) = przyprostokątna naprzeciw / przeciwprostokątna
- cos(α) = przyprostokątna przy / przeciwprostokątna
- tan(α) = sin(α) / cos(α) = naprzeciw / przy
- cot(α) = cos(α) / sin(α) = 1 / tan(α)
Wartości specjalne
- 0°: sin=0, cos=1, tan=0, cot=∞
- 30°: sin=0,5, cos=√3/2≈0,866, tan=√3/3≈0,577
- 45°: sin=cos=√2/2≈0,707, tan=cot=1
- 60°: sin=√3/2≈0,866, cos=0,5, tan=√3≈1,732
- 90°: sin=1, cos=0, tan=∞, cot=0
- 180°: sin=0, cos=−1, tan=0
Stopnie a radiany
W matematyce wyższej i programowaniu używa się radianów zamiast stopni. Przelicznik: 1° = π/180 rad. Pełny obrót: 360° = 2π rad. JavaScript Math.sin() oczekuje radianów - kalkulator automatycznie przelicza.
Tożsamości trygonometryczne
- sin²(α) + cos²(α) = 1 (jedynka trygonometryczna)
- sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
- cos(α + β) = cos(α)cos(β) − sin(α)sin(β)
- sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
- cos(2α) = cos²(α) − sin²(α)
Zastosowania - praktyka
- Architektura - obliczanie wysokości budynku, długości skosu dachu
- Nawigacja - GPS, kursy statków i samolotów
- Astronomia - odległości do gwiazd (paralaksa)
- Fizyka - rozkład sił na równi pochyłej
- Elektronika - prąd zmienny (sinusoida)
- Grafika 3D - obrót obiektów, animacje
- Muzyka - cyfrowa reprezentacja dźwięku (fala sinusoidalna)
Klasyczny problem - wysokość budynku
Stoisz 50 m od budynku i mierzysz kąt pod jakim widzisz szczyt - 30°. Wzór: wysokość = odległość × tan(kąt) = 50 × tan(30°) = 50 × 0,577 = 28,87 m. Zwykła trygonometria zastępuje precyzyjne pomiary geodezyjne.
Funkcje odwrotne (arc)
arcsin, arccos, arctan - odwrotne do sin, cos, tan. Dla y = sin(α), arcsin(y) = α. Przykład: arcsin(0,5) = 30°. Używane gdy znamy wartość funkcji i szukamy kąta.
Okrąg jednostkowy
Najlepsza wizualizacja - okrąg o promieniu 1 wokół początku układu. Punkt na okręgu w odległości kątowej α ma współrzędne (cos α, sin α). Stąd "jedynka trygonometryczna": x² + y² = 1 → cos²α + sin²α = 1.