Delta i równanie kwadratowe - jak to działa?
Równanie kwadratowe to równanie postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Rozwiązuje się je obliczając wyróżnik (deltę) i sprawdzając jego znak. Liczba pierwiastków zależy od wartości delty.
Wzór na deltę
Δ = b² − 4ac
Trzy przypadki:
- Δ > 0 - dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂
- Δ = 0 - jeden pierwiastek podwójny x₀
- Δ < 0 - brak pierwiastków rzeczywistych (są zespolone)
Wzory na pierwiastki
Gdy Δ ≥ 0:
- x₁ = (−b − √Δ) / 2a
- x₂ = (−b + √Δ) / 2a
Gdy Δ = 0: x₀ = −b / 2a (jeden pierwiastek "podwójny").
Przykład krok po kroku
Równanie: x² − 5x + 6 = 0. Czyli a=1, b=−5, c=6.
- Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
- Δ > 0, więc dwa pierwiastki
- √Δ = √1 = 1
- x₁ = (5 − 1) / 2 = 2
- x₂ = (5 + 1) / 2 = 3
Sprawdzenie: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓. 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓.
Postać iloczynowa
Gdy znamy pierwiastki, można zapisać równanie w postaci iloczynowej: a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Dla naszego przykładu: (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6. Przydatne przy upraszczaniu wyrażeń algebraicznych i całkowaniu.
Wzory Viète'a
Powiązanie między pierwiastkami a współczynnikami (bez liczenia delty):
- Suma pierwiastków: x₁ + x₂ = −b/a
- Iloczyn pierwiastków: x₁ · x₂ = c/a
Dla x² − 5x + 6: suma = 5 (= 2+3), iloczyn = 6 (= 2·3). Zgadza się.
Kiedy delta jest ujemna?
Gdy parabola w ogóle nie przecina osi X. Funkcja kwadratowa f(x) = x² + 1 ma minimum 1 - jest zawsze dodatnia. Δ = 0² − 4·1·1 = −4. Pierwiastki istnieją tylko w liczbach zespolonych: ±√(−1) = ±i.
Geometria - wykres paraboli
Każde równanie kwadratowe ma reprezentację geometryczną - parabolę. Punkty x₁, x₂ to miejsca przecięcia paraboli z osią X. Wierzchołek paraboli jest w punkcie (−b/2a, −Δ/4a). Współczynnik a decyduje o "rozwartości" - duże |a| = wąska, małe |a| = szeroka.