Wzory na objętość brył geometrycznych
Każda bryła ma swój wzór na objętość (V) i pole powierzchni całkowitej (Pc). Te wzory są jednymi z najczęściej zapamiętywanych w matematyce. Kalkulator obsługuje pięć najpopularniejszych brył: sześcian, prostopadłościan, walec, stożek i kulę.
Sześcian
- V = a³ (a = krawędź)
- Pc = 6a² (sześć kwadratowych ścian)
Przykład: a = 5 cm. V = 125 cm³, Pc = 150 cm². Sześcian to najprosta bryła - wszystkie krawędzie równe, wszystkie kąty proste.
Prostopadłościan
- V = a · b · c (długość × szerokość × wysokość)
- Pc = 2(ab + bc + ac)
- Przekątna = √(a² + b² + c²)
Klasyczna bryła pokojów, paczek, akwariów. Sześcian to specjalny przypadek prostopadłościanu z a = b = c.
Walec
- V = πr²h (pole koła × wysokość)
- Pc = 2πr(r + h)
- Pole boczne = 2πrh
Walec to "wydłużony cylinder" - puszki, butelki, rury. Pole podstawy = pole koła = πr². Pomnożenie przez wysokość daje objętość.
Stożek
- V = ⅓πr²h (1/3 walca o tych samych wymiarach!)
- Pc = πr(r + l), gdzie l = √(r² + h²) (tworząca)
Ciekawostka: stożek mieści 1/3 objętości walca wpisanego w ten sam cylinder. Trzy stożki o promieniu r i wysokości h zmieszczą się dokładnie w walcu o tych samych wymiarach.
Kula
- V = ⁴⁄₃πr³
- Pc = 4πr²
Kula ma najmniejszą powierzchnię przy danej objętości spośród wszystkich brył - dlatego krople wody przyjmują kształt kuli (minimalizują napięcie powierzchniowe). To samo z bańkami mydlanymi i planetami.
Liczba π (pi)
We wzorach z walcem, stożkiem i kulą występuje liczba π ≈ 3,14159265... To stosunek obwodu koła do średnicy - liczba niewymierna i przestępna. Już Archimedes (III w. p.n.e.) znał π z dokładnością do trzeciej cyfry. Dziś znamy biliony cyfr π.
Zastosowania
- Sześcian/prostopadłościan - akwaria, mieszkania, pudełka
- Walec - butelki, beczki, rury, kabiny prysznicowe
- Stożek - lejki, hełmy, namioty, czapki
- Kula - piłki, planety, krople wody, kropki w grafice
Złożone bryły
Większość przedmiotów to kombinacje brył. Zbiornik wody może być walcem z półkulą na dnie. Lampa - stożek + walec. Liczy się każdą część osobno i sumuje. Pole powierzchni - tylko wystające ścianki, bez "wnętrznych" granic między sekcjami.