NWD i NWW - co to znaczy?
NWD (Największy Wspólny Dzielnik) to największa liczba, przez którą można podzielić wszystkie podane liczby bez reszty. NWW (Najmniejsza Wspólna Wielokrotność) to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością wszystkich podanych liczb.
Przykład 12 i 18
- Dzielniki 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Dzielniki 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Wspólne dzielniki: 1, 2, 3, 6
- NWD = 6
- Wielokrotności 12: 12, 24, 36, 48...
- Wielokrotności 18: 18, 36, 54...
- Pierwsza wspólna: NWW = 36
Algorytm Euklidesa - szybki NWD
Klasyczny algorytm sprzed 2300 lat:
- Większą z liczb podziel przez mniejszą
- Jeśli reszta wynosi 0 - mniejsza liczba jest NWD
- Jeśli nie - większą zastąp mniejszą, mniejszą zastąp resztą i wróć do kroku 1
Przykład: 84 i 18. 84 = 4·18 + 12. 18 = 1·12 + 6. 12 = 2·6 + 0. NWD = 6. Działa dla dowolnych liczb, nawet bardzo dużych.
Wzór NWD × NWW = a × b
Iloczyn dwóch liczb równa się iloczynowi ich NWD i NWW. Dla 12 i 18: 12 × 18 = 216 = 6 × 36 = NWD × NWW. To pomaga obliczyć NWW jeśli znasz NWD: NWW = (a × b) / NWD.
Rozkład na czynniki pierwsze
Klasyczna metoda na NWD i NWW. Rozkładasz każdą liczbę na czynniki pierwsze:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
NWD - najniższe potęgi wspólnych czynników: 2¹ × 3¹ = 6. NWW - najwyższe potęgi wszystkich czynników: 2² × 3² = 36.
Zastosowania
- Skracanie ułamków - dziel licznik i mianownik przez NWD
- Wspólny mianownik - przy dodawaniu ułamków używamy NWW
- Synchronizacja zegarków - kiedy się ponownie zrównają (NWW okresów)
- Cykle - kiedy planeta wraca w tę samą pozycję
- Programowanie - optymalizacja, kryptografia (RSA)
Liczby względnie pierwsze
Liczby których NWD = 1 nazywamy względnie pierwszymi (coprime). Przykłady: 7 i 12 (NWD = 1). Nie znaczy to, że są same liczbami pierwszymi - liczy się, że nie mają wspólnych dzielników poza 1.
Praktyka - skracanie ułamka
Ułamek 12/18. NWD(12, 18) = 6. Dzielimy: 12/6 = 2, 18/6 = 3. Ułamek skrócony: 2/3. To podstawa wszystkich operacji na ułamkach - bez tego, każde działanie generuje "rozdęte" liczby.