Ciąg arytmetyczny i geometryczny - definicje
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Przykład: 2, 5, 8, 11, 14... (różnica r = 3). Każdy wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby do poprzedniego.
Ciąg geometryczny to ciąg, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Przykład: 2, 6, 18, 54... (iloraz q = 3). Każdy wyraz to poprzedni razy q.
Wzory na ciąg arytmetyczny
- n-ty wyraz: aₙ = a₁ + (n − 1) · r
- Suma n wyrazów: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
Przykład: a₁ = 2, r = 3, n = 10. a₁₀ = 2 + 9·3 = 29. Suma 10 wyrazów: S₁₀ = 10·(2 + 29)/2 = 10·15,5 = 155.
Wzory na ciąg geometryczny
- n-ty wyraz: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
- Suma n wyrazów (q ≠ 1): Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
- Suma nieskończonego ciągu (|q| < 1): S∞ = a₁ / (1 − q)
Przykład: a₁ = 2, q = 3, n = 5. a₅ = 2 · 3⁴ = 162. Suma: S₅ = 2 · (243 − 1)/(3 − 1) = 2 · 121 = 242.
Zastosowania w finansach
Procent składany to ciąg geometryczny: po roku kapitał × q (gdzie q = 1+r). Po n latach: K · qⁿ. Stąd "magia procentu składanego" - wzrost wykładniczy. Lokata 10 000 zł na 10 lat przy 7% to 10 000 · 1,07¹⁰ = 19 672 zł.
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Klasyczny paradoks: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = ? Wydaje się że nieskończenie dużo. Ale dla ciągu z |q| < 1: S∞ = a₁ / (1 − q). Tutaj a₁ = 1, q = 1/2, więc S∞ = 1 / 0,5 = 2. Nieskończenie wiele dodawanych liczb daje skończony wynik!
Paradoks Zenona z Eleł
Achilles ścigający się z żółwiem - nigdy go nie dogoni, bo zawsze pozostaje połowa drogi. Matematyka pokazuje, że suma nieskończonego ciągu kroków połowicznych jest skończona - dogoni go w skończonym czasie. Suma 1+1/2+1/4+... = 2.
Klasyczne zadania maturalne
- "Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego to 5, ósmy wyraz to 33. Oblicz sumę 10 wyrazów."
- "Trzeci wyraz ciągu geometrycznego to 18, piąty wyraz to 162. Wyznacz ciąg."
- "W stawie żaba przeskakuje 1 m, w drugim skoku połowę poprzedniego. Ile metrów przebędzie?"
Wszystkie to standardowe ćwiczenia ze wzorów na ciągi - rozwiązywane przez podstawienie do gotowych wzorów.